Cosa c’era prima del Tempo di Planck? Una possibile Teoria Unificata sull’origine dell’Universo e sull’Unificazione delle Forze.

(tratto dal libro di Igor e Grichka Bogdanov: “Prima del Big Bang- L’origine dell’Universo” – Ed. Longanesi – 2008)

Parte Seconda

L’istantone gravitazionale singolare è un punto: la sua dimensione è zero, non occupa alcun volume nello spazio, né alcun istante nel tempo. La soluzione delle equazioni di Einstein, calcolata da Friedmann, conduceva ineluttabilmente all’esistenza di questa Singolarità. Ma questo vale anche se si tiene conto dei limiti di fluttuazione che imperversano alla scala di Planck? Le fluttuazioni della direzione temporale inducono obbligatoriamente l’esistenza di un punto singolare all’origine. L’oggetto matematico che permette di descrivere la fluttuazione del tempo alla scala di Planck altro non è che il prodotto dei due gruppi di simmetrie che corrispondono alle due possibili segnature della metrica: il gruppo di Lorentz [gruppo di simmetria dello spazio-tempo che si scrive SO(3,1)] ed il gruppo euclideo [gruppo corrispondente ad uno spazio a 4 dimensioni che evolve in tempo immaginario e si scrive SO(4)]. La tappa successiva consiste nel costruire l’unificazione di questi due gruppi in uno spazio omogeneo simmetrico che descriva completamente la fluttuazione della segnatura fra tempo reale e tempo immaginario. In quanto spazio topologico, lo spazio a 5 dimensioni che permette la fluttuazione del tempo ha la topologia di un cono convesso. E come sappiamo, un cono comporta un vertice, che rappresenta un’origine singolare, un Punto Zero. Da qui deriva il risultato che le fluttuazioni della segnatura della metrica rinviano inevitabilmente all’esistenza di un Punto Zero, la Singolarità Iniziale, all’origine dello spazio-tempo. La condizione KMS allo spazio-tempo alla scala di Planck, prevede che, a questa scala, una scala in cui la direzione temporale non è più fissa ma “fluttuante”, l’universo sia in uno stato di equilibrio termico. La Singolarità che sta all’origine non ha sostanza (e quindi esistenza) alcuna a livello fisico. Essendo al di fuori dello spazio, del tempo e dell’energia, questo punto è una pura astrazione geometrica. Come ci spinge a fare la matematica, possiamo insomma concepire questo “punto” come una pura immagine dello “zero”, del quale ha la stessa semplicità ideale. Allo stesso tempo, d’altra parte, ne possiede tutta la ricchezza e tutta la complessità. Al di là dell’istantone gravitazionale singolare, non esiste più nulla. Né materia, né spazio, né tempo. Non resta che la solitaria, silenziosa, immobile Singolarità Iniziale, il Punto Zero, un’entità interamente matematica, leggibile e visibile unicamente attraverso la matematica. Che cosa vediamo al Punto Zero? In che tipo di paesaggio siamo capitati? Siamo in un regno nuovo: quello delle entità matematiche. Qui, tutto cambia; possiamo divenire piccoli quanto vogliamo. Ammettiamo, quindi, di essere più piccoli di 10^1000 o di 10^10000. In effetti, precipitiamo senza fine verso una potenza con esponente negativo infinito, ossia verso lo zero. La serie finora calcolata dei numeri primi sfiora i tre milioni di cifre; per quanto riguarda i decimali del π, oggi se ne conoscono oltre cento miliardi. Ed i grandi teorici dei numeri sono convinti che nel cuore di quelle serie interminabili, in quei miliardi di cifre che si perdono nell’infinito, c’è un segreto nascosto, una chiave che, aprendoci le porte dell’infinito, ci fa ricadere sullo zero. E quindi sull’origine dell’universo. Al Punto Zero il tempo c’è ma non esiste nella sua forma reale: esso, come già abbiamo detto precedentemente, è immaginario. Ciò significa che l’evoluzione del sistema non sarà più reale, come nel nostro mondo, ma immaginaria, come nel mondo dell’informazione. Quando abbiamo esplorato il mondo quantistico, eravamo nella superficie della sfera. Adesso siamo sempre nella superficie, ma la sfera ha subito tre cambiamenti spettacolari. Il primo cambiamento è che essa non è più continuamente deformata dalla tempesta quantistica. Il secondo cambiamento è che il suo interno non è più lo stesso. Perché la direzione del tempo che essa conteneva ha cessato di essere “complessa” per divenire una retta del tempo immaginario puro, cioè una nuova retta reale: una quarta dimensione dello spazio. Il terzo cambiamento è che scomparendo, la retta del tempo non ha soltanto reso la nostra sfera completamente “statica”, ma ne ha anche soppresso la scala. Ormai, giacchè possiamo camminare all’interno di ciò che prima era un volume, non si tratta più di una sfera ma di una “bolla”, di una bolla chiusa dotata di un “bordo”, ed il bordo è semplicemente la sfera S3. Questa volta però il suo interno è “pieno”: è la quarta dimensione della bolla. Quest’ultima, nonostante le sue quattro dimensioni, non ha una grandezza definita: è impossibile stabilire quanto misuri. Vista con i nostri occhi, non è altro che un “punto”: quello di Friedmann, di Hawking. Ma visto da laggiù, il punto diviene una bolla di raggio indeterminato. Fra l’altro, la bolla equivale ad un punto espanso; viceversa, nel momento in cui la bolla “collassa” su un punto, dà vita ad un punto con quattro dimensioni. All’interno della bolla singolare, ci troviamo in un “bouquet di sfere”, una serie illimitata che parte da zero e va all’infinito. Ora, su ogni bordo di ogni bolla, c’è un’informazione, un certo stato, un’immagine dell’universo. Tutto avviene come se fossimo all’interno di una bolla di sapone, con i piedi sul polo sud della bolla. Vedremmo allora in trasparenza un’infinità di bolle, ciascuna di esse con delle immagini in superficie. Da una bolla all’altra, l’immagine è leggermente diversa, fino all’infinito. In questa ricerca, è stato utilizzato come strumento matematico, una “funzione di partizione”. Su scala zero, tale funzione “cade” su un invariante topologico, che non è altro che 1. Tale cifra ci dice che all’Istante Zero, l’universo è necessariamente ridotto ad un punto. Ma poiché questo punto è topologicamente la stessa cosa di una bolla, ciò significa che il nostro invariante “srotola” tutte le sfere possibili da zero all’infinito. È ciò che in meccanica statistica definiamo “eccitazione di tutti gli stati possibili del sistema”. Qui, tutti gli stati della bolla singolare sono presenti sul suo bordo, ossia sulla serie infinita delle sfere. Ed è così che, dal nostro Punto Zero vediamo tutto l’universo. Ciascuna sfera contiene un’immagine immobile. Eppure, se passiamo da una sfera all’altra, da un’immagine all’altra, ecco che tutto si mette in movimento, evolve: un’evoluzione in tempo immaginario. Si comprende allora, poiché tutte le bolle fino all’infinito sono equivalenti a zero, che tutto è codificato nello zero. Proprio come in matematica il gruppo di simmetria lorentziano (quello che descrive il nostro spazio-tempo) è la forma estesa del gruppo di simmetria compatta, euclidea, che governa le trasformazioni della sfera, lo spazio-tempo nella sua dinamica altro non è che la forma estesa della bolla originale. Per raggiungere il nostro Punto Zero, abbiamo dovuto attraversare tre mondi molto diversi l’uno dall’altro: dal nostro mondo, quello cui siamo abituati ed in cui viviamo, siamo scesi verso la scala di Planck per scoprire un universo molto differente, un ambiente caotico, lacerato dalla tempesta quantistica, dove la nozione di “distanza fra punti”, ossia la metrica, diviene complessa. Infine, alla scala 0 siamo entrati in un universo interamente euclideo: la tempesta quantistica è cessata, e quel mondo è apparentemente calmo. Come una foto immobile per sempre, un film proiettato immagine dopo immagine all’infinito, su un’infinità di schermi via via più grandi. Un film che contiene tutte le immagini allo stesso tempo. Prendiamo un DVD contenente un film: il vero contenuto del disco non si riduce infine ad informazione? Tale informazione diverrà leggibile ed interpretabile solo quando sarà decodificata, nel tempo e nell’ordine, dal lettore (e da noi). Quindi, la storia del film diventerà comprensibile per noi soltanto quando ci metteremo a guardare il film dall’inizio alla fine. Ma che cosa ne è di questa “storia” nel momento in cui, dopo aver visto il film, togliamo il disco dal lettore? Curiosamente, è sempre “lì”, memorizzata sul disco, con le sue scene, i protagonisti e le situazioni. Ma è soltanto informazione pura, globale, al di fuori della durata, al di fuori del tempo: tutta la storia è sì nel DVD, dall’inizio alla fine, nella sua totalità, ma la sua evoluzione, le sue trasformazioni, possono avvenire soltanto in un tempo puramente immaginario. Quindi, l’informazione non dipende né dal tempo, né dallo spazio: è al di fuori della nostra realtà fisica. Non occupa neppure un certo volume dello spazio, così come non occupa una certa durata nel tempo. Già diverse decine di anni fa, si cominciò a comprendere la relazione che sembrava esistere fra l’entropia (il grado d’ordine di un sistema) e l’informazione di tale sistema. E si constatò che l’una è funzione inversa dell’altra: più l’entropia è bassa (l’entropia fornisce una misura del disordine del sistema), più l’informazione contenuta nel sistema è alta. Per tornare all’esempio del DVD, questo è visibile e coerente soltanto in funzione del grado d’ordine dell’informazione che lo compone e che è racchiusa nel disco. Esiste una relazione stretta fra le leggi dell’informazione, quelle dell’entropia e quelle della termodinamica. La relazione è facile da capire: nella vita di tutti i giorni, in ogni istante, noi trasformiamo energia in informazione. In altre parole, trasformiamo tempo reale (energia) in tempo immaginario (informazione). Ciò che chiamiamo informazione non può, in senso stretto, esistere se non in un tempo immaginario. Più esattamente: così come, secondo le leggi della termodinamica, l’entropia di un sistema esiste nel tempo reale, l’informazione che caratterizza quel sistema esiste nel tempo immaginario. Mentre il tempo reale porta, con l’energia e l’entropia, le trasformazioni di un sistema, il tempo immaginario da parte sua porta, con un’entropia nulla, l’informazione propria del sistema. Possiamo detenere un’informazione, possiamo trasmetterla, moltiplicarla all’infinito, ed essa non evolverà: è, in sostanza, invariante (ossia, al di fuori del tempo reale). Ad attraversare il tempo reale è sempre la stessa informazione, che in realtà però esiste in un tempo puramente immaginario. In matematica, si dirà che l’informazione è un invariante topologico. Quella che definiamo energia immaginaria (e che per definizione è statica, poiché esiste in un tempo immaginario) può essere considerata equivalente ad un’informazione. Erwin Schrodinger, si chiedeva: da dove viene l’universo? Come possiamo capire la vita? Per rispondere, il grande fisico si fondava su un principio assolutamente fondamentale: il secondo principio della termodinamica. Esso sostiene che, in un sistema chiuso (quale è il caso dell’universo), ciò che chiamiamo entropia non può far altro che aumentare. L’entropia misura la quantità di incertezza che caratterizza un sistema: più tale incertezza è alta, più l’entropia è grande. Se diciamo che nell’universo l’entropia (il disordine) va aumentando, significa che all’Istante Zero essa doveva essere nulla. Per comprendere perché all’Istante Zero l’entropia si annulli, si deve “stendere” il secondo principio della termodinamica nel tempo complesso. La famosa equazione d’onda di Schrodinger è esattamente la stessa inventata, un secolo prima, da Joseph Fourier, e che porta il nome affascinante di equazione del calore. Quest’ultima descrive la diffusione del calore nello spazio mentre quella di Schrodinger (simile ad essa fin nei minimi dettagli) mostra l’evoluzione di ciò che egli chiama funzione d’onda di un fenomeno quantistico. Confrontiamo queste due equazioni: notiamo, con nostro grande interesse e meraviglia, che l’equazione del calore altro non è che l’equazione di Schrodinger, ma scritta in tempo immaginario (e non più in tempo reale). Sulla base dei loro punti comuni, è stata realizzata una sorta di sintesi di queste due equazioni. Facendo ciò, è stato possibile riformulare il problema dell’evoluzione dello spazio-tempo alla scala di Planck. E, in questo nuovo quadro, la scoperta più importante riguarda il valore nullo dell’entropia all’Istante Zero. Al di là della scala di Planck, il tempo non è più reale ma complesso (il che significa che al tempo reale bisogna aggiungere un tempo immaginario). Che cosa ne è allora della seconda legge? Deve semplicemente essere riformulata in tempo complesso. Cominciamo considerando la nuova forma assunta dall’entropia quando è descritta in tempo complesso. Che cosa vediamo? In sostanza, due cose: una riguarda l’origine dell’universo, l’altra la sua fine in un futuro lontanissimo. A proposito dell’origine, precedentemente abbiamo detto che alla scala zero il tempo reale scompare, e sussiste soltanto un tempo immaginario puro: un invariante (ossia, un numero intero) che possiamo porre come uguale all’unità, ossia 1. L’equazione dell’entropia si riduce quindi alla forma semplice del logaritmo di 1, vale a dire zero. Come interpretare questo risultato? Naturalmente, nel seguente modo: all’Istante Zero, l’entropia dello spazio-tempo è nulla. E di conseguenza, l’informazione che caratterizza il pre-spazio-tempo è infinita, poiché l’informazione deve essere considerata come l’inverso – più esattamente, il duale – dell’entropia. Possiamo trovare lo stesso risultato anche ragionando all’inverso: che cosa accade quando l’entropia diviene nulla? L’equazione estesa fornisce immediatamente la soluzione: il tempo reale deve essere sostituito da un invariante, ossia dal tempo immaginario puro. La conclusione che è possibile trarre da tutto questo è che all’Istante Zero lo spazio-tempo nascente, in uno stato di ordine ideale, non era altro che informazione pura, immersa nel tempo immaginario. E per il futuro più remoto? Certamente l’universo non sfuggirà all’inesorabile degradazione. Ciononostante, in quell’era inimmaginabile l’entropia non sarà infinità. Difatti, una volta che l’ultimo atomo di materia sarà evaporato (dovrà passare un numero di anni pari a 10 elevato alla miliardesima potenza) l’evoluzione si compirà, giungendo al proprio termine. Questo significa che il tempo reale si estinguerà insieme a quell’ultimo atomo. Nel momento in cui l’ultimo istante svanirà nell’eterno, insieme a quell’ultimo atomo perso nell’infinito, l’entropia tornerà ad essere nulla. E nello stesso istante ricomparirà, in tutta la sua pienezza, il tempo immaginario. Infatti, dal momento in cui una variabile si fissa per diventare uno stato puro, un invariante topologico, allora quello stato che cessa di evolvere può essere descritto solo in tempo immaginario: diviene una pura informazione. Se consideriamo il cono di luce, all’interno del cono si trova lo spazio-tempo, e al di fuori di esso il cosiddetto “Altrove”, il quale si dipana nel tempo immaginario. In questo futuro in cui energia e materia non esistono più, non esiste più luce e, di conseguenza, non esiste più il “cono”: sussiste soltanto l’Altrove, attraversato dallo zero all’infinito dal flusso topologico del tempo immaginario. Tale è il destino del nostro universo: nato all’altro capo del tempo immaginario sotto forma di informazione leggibile in un’equazione (l’indice di Singolarità), ecco che tutta l’evoluzione lo avrà portato a ritrovare, alla fine dei tempi, in fondo ad un ciclo insondabile, quello stesso invariante, quell’informazione pura, quella luce tenue che dà esistenza e senso all’Essere che sovrasta il nulla. Nella relatività di Einstein esiste il quadrivettore. Questo ci permette di descrivere la differenza fra l’energia di un sistema (che dipende dal tempo) ed il suo momento relativistico (che deriva dalle coordinate spaziali). Quando la velocità del sistema “supera” la velocità della luce (come avviene alla scala di Planck), l’energia cambia segnatura e diviene immaginaria (e si entra nella metrica euclidea). In questo caso, il quadrivettore di Einstein non è più un oggetto fisico, ma un oggetto topologico, mera quantità di informazione. Esso “vive” nel tempo immaginario e la sua energia è immaginaria. È in questo senso che l’informazione reale deve essere compresa come energia immaginaria. Che rapporto c’è fra la Singolarità e tutto quello che la precede? Semplicemente che alla scala zero, ossia sul punto, l’entropia è nulla. A questo limite d’entropia 0, il sistema può rivestire, simultaneamente, tutti gli stati possibili. L’entropia nulla corrisponde ad una scala di distanza nulla per il sistema, ovverossia all’entropia del punto. E quest’ultima corrisponde bene a ciò che potremmo chiamare “l’eccitazione topologica di tutti i possibili stati del punto”. In altre parole, un’entropia nulla è equivalente a un’informazione infinita. “L’entropia zero descrive tutti gli stati possibili che possono essere definiti per un sistema, indipendentemente però dalle leggi della termodinamica”. L’entropia zero, quindi, non può essere una proprietà di un sistema reale. Si tratta di una proprietà straordinariamente potente, applicabile a quelli che vengono definiti “sistemi ideali”, ossia sistemi la cui evoluzione avviene in tempo immaginario puro. Quindi, nella sua stessa evoluzione, l’universo intero è un immenso sistema che trasforma energia in informazione. Alla scala zero, l’universo è solo informazione: non ha dimensioni, non occupa alcuno spazio e la sua evoluzione non avviene in tempo reale, ma in tempo immaginario. Durante tutto il “periodo” cosmologico posto fra la scala zero e la scala di Planck (cioè fra il tempo zero ed il tempo di Planck), il pre-universo non subisce nessuna trasformazione reale resa parametrica dal tempo reale: evolve, semplicemente, in tempo complesso. È soltanto molto al di là della scala zero, cioè alla scala di Planck, che l’evoluzione cessa di essere immaginaria, oscilla nel piano complesso e diviene reale: in quell’istante, e solo allora, comincia il Big Bang “fisico”. E con esso, il tempo reale. Di lì in poi, l’informazione “globale” che regnava al tempo zero, che conosceva soltanto il tempo immaginario, l’informazione che conteneva “tutta la storia” dell’universo, dalla sua nascita fino al futuro insondabile, entra nel tempo, diviene “locale”, e nel mondo reale dovrà sottostare al lungo sviluppo che permetterà all’universo fisico di ritrovare, a poco a poco, nel corso dei miliardi di anni, la complessità originale degli inizi. Poiché alla scala di Planck tutti i campi fisici (curvatura, temperatura, densità di energia) del pre-spazio-tempo tendono all’infinito, è possibile considerare la struttura della Singolarità iniziale in termini d’invarianti topologici. Tale ricerca permette di mettere in evidenza, all’origine del pre-spazio-tempo, l’esistenza di un indice topologico (ossia di un invariante) che è stato chiamato “invariante di Singolarità”. Si tratta di un tipo di formula che “codifica” le tre simmetrie fondamentali sulle quali si basa l’universo quando era ancora un semplice punto matematico. Questa formula si può leggere come: “traccia (– 1)^s = 1”. La “s” rappresenta la “cifra metrica”, ossia i diversi stati possibili della metrica dello spazio-tempo, mentre la traccia rappresenta la somma (alternata) su tutte le metriche. Vediamo che, sul limite topologico, la somma di tutti gli stati possibili della metrica si riduce al numero 1. Questo numero è quello che viene definito un “indice topologico”, che indica appunto la forma dell’universo all’Istante Zero. Questo indice è definito dai matematici “caratteristica di Eulero”. Il numero 1 è la caratteristica del punto e, più in generale, di una bolla. Di conseguenza, all’Istante Zero, la bolla che rappresenta il pre-spazio-tempo a 4 dimensioni ha raggio nullo. Ma c’è dell’altro: quel punto è la fonte di una “corrente topologica” tale che la bolla di raggio nullo è sottoposta ad un’espansione da zero all’infinito. È, questa, la primissima fase non fisica dell’espansione del nostro universo prima del Big Bang. Infine, l’invariante topologico è essenziale per il fatto che descrive le tre simmetrie esistenti al Punto Zero: la simmetria fra tempo e spazio, la simmetria fra reale ed immaginario e, infine, la simmetria fra zero ed infinito. Quella che viene chiamata “transizione TF” (ossia transizione dallo stato topologico allo stato fisico) può essere spiegata in termini di “sdoppiamento” al di là della scala di Planck, fra la “corrente topologica” (che rappresenta una pseudo-evoluzione del pre-universo in tempo immaginario puro) ed il flusso fisico (che descrive l’evoluzione in tempo reale). Si tratta di un’evoluzione che, in uno spazio, non mantiene le “norme” – le lunghezze o la scala – proprie di quello spazio. È stato così proposto che lo spazio corrispondente ad una metrica euclidea sia necessariamente sottoposto ad una “dilatazione” della propria norma, in altre parole che obbedisca ad una trasformazione “non unitaria” corrispondente ad un’evoluzione in tempo immaginario (che viene anche chiamata “evoluzione euclidea”). Basandosi su tale idea, è stato proposto che la “rottura dello stato KMS” da parte del (pre-) spazio-tempo al di là della scala di Planck induca la rottura della supersimmetria alla stessa scala. Si tratta di un approccio essenzialmente “dinamico” alla rottura della supersimmetria, nel senso che, come fa osservare il celebre matematico Alain Connes, le algebre di von Neumann sono oggetti fondamentalmente “dinamici”. È possibile dimostrare come l’equazione matematica che rappresenta lo stato di equilibrio di un sistema sia in effetti rigorosamente equivalente ad una nuova equazione, che descrive l’evoluzione dello stesso sistema in tempo immaginario. Riassumendo: la soluzione “topologica” alla Singolarità Iniziale implica che alla scala zero il pre-spazio-tempo intero fosse ripiegato su un “punto” con metrica euclidea. Su questo punto, accessibile soltanto attraverso la teoria topologica dei campi, si può vedere che la segnatura della metrica è definita positiva: in altre parole, la coordinata genere tempo è puramente immaginaria, cioè si comporta esattamente come una quarta dimensione di spazio. Andiamo adesso a descrivere il rapporto che esiste tra lo zero e l’infinito. Per prima cosa affermiamo: lo zero contiene l’infinito, nello stesso modo in cui la Singolarità Iniziale contiene l’universo intero. Possiamo notare che lo zero e l’infinito sono legati da una parentela molto strana. Se si divide un numero per l’infinito, si otterrà zero; d’altra parte, moltiplicando qualsiasi cifra per zero, non si otterrà mai un risultato diverso da zero. Altrettanto vale per l’infinito: prendendo un numero a caso (anche molto piccolo), e moltiplicandolo per l’infinito, si otterrà l’infinito. Avremo cioè le seguenti relazioni: n / ∞ = 0, n × 0 = 0, n × ∞ = ∞ . Insomma, ciò che si può vedere chiaramente è che lo zero, in qualche modo, è il duale dell’infinito. Un altro “oggetto” matematico dove troviamo relazioni tra zero ed infinito è la “sfera di Riemann”. Il genio matematico Riemann dimostrò che aggiungendo un punto all’infinito “al di sopra di un piano complesso” quello stesso piano si trasforma in una sfera. L’origine (lo zero) corrisponde quindi al polo Sud della sfera di Riemann ed il polo Nord rappresenta, molto semplicemente, l’infinito. Studiando più da vicino tale sfera, si arriva rapidamente ad un’osservazione: non solo lo zero ha una relazione con l’infinito ma, in un certo senso, sembra generarlo. Anche nei numeri razionali (frazionari) troviamo la connessione tra lo zero e l’infinito. I numeri razionali si estendono, da zero all’infinito, sulla retta reale. La cosa più interessante di tali numeri è che “il numero dei razionali è nullo”. Essi non occupano alcuno spazio sulla retta reale in quanto possiamo sempre trovare, accanto ad un numero per quanto piccolo, un numero ancora più piccolo. E sommando tutti quei numeri, la serie che viene a formarsi fornisce, come risultato, zero. Qual è il limite di una serie di numeri che divengono via via più piccoli, all’infinito? È lo zero. In linguaggio matematico, si dirà che i numeri razionali formano ciò che si definisce un “insieme denso”: anche se tutta la retta dei numeri è satura di razionali, stranamente, essi non occupano alcuno spazio (o meglio, occupano soltanto lo zero). Sappiamo che, alla scala zero, l’universo non ha più alcun contenuto fisico, ha un contenuto puramente matematico. Poiché il Punto Zero è un oggetto matematico, la sua “evoluzione” è anch’essa matematica. L’unica via possibile per descrivere questa “dinamica del Punto Zero” passa dunque all’uso di metodi esclusivamente matematici. Lo stato singolare (rappresentato dal punto all’origine) non ha alcun motivo di evolvere da sé. Esiste necessariamente un motore matematico. Il segreto di quella prima evoluzione possibile, il segreto di quel Big Bang freddo che fece esplodere lo zero fino al Muro di Planck ed oltre, quel codice al contempo primordiale ed ultimo, lo troveremo nello zero. Quindi lo zero è in relazione di dualità con l’infinito ed ha lo strano potere di generarlo. Come può “qualcosa” – in realtà, un infinito – sgorgare dal nulla? Il grande matematico George Cantor “sentiva” che quegli infiniti formati da tutti i numeri possibili ed immaginabili provenivano da quell’unica fonte, un nulla numerico in cui si concentravano tutti i misteri: lo zero. Lo zero ha il potere di generare il numero 1. Dato che disponiamo soltanto dello zero, e di null’altro, faremo l’unica operazione che sia realizzabile: elevare zero alla sola potenza possibile: questa potenza è necessariamente zero. La teoria dimostra che zero elevato alla potenza zero è uguale ad uno. Possiamo ottenere lo stesso risultato calcolando ciò che i matematici chiamano il fattoriale di zero. Il fattoriale di un numero intero non è altro che il prodotto dei numeri interi positivi inferiori o uguali al numero dato. Dato che nel caso dello zero si giunge ad un “prodotto vuoto”, per costruzione, il fattoriale di zero (che si scrive 0!) è uguale a 1. Lo zero può generare tutti i numeri, siano essi reali o immaginari puri. Vediamo come. Prendiamo semplicemente il simbolo più puro di zero, che nella teoria degli insiemi è “l’insieme vuoto”. L’insieme vuoto è uguale allo zero, per costruzione. Tale insieme vuoto è definito “insieme originale”. In termini matematici, si dice che la cardinalità (ossia il totale) dell’insieme vuoto originale è nulla. Abbiamo dunque l’insieme vuoto e lo zero, che è uguale all’insieme vuoto. Mettiamo lo zero all’interno dell’insieme vuoto: il nostro insieme non è più vuoto, contiene lo zero, ossia un elemento. La cardinalità dell’insieme non è più zero, ma uno. Prenderemo il numero 1 così creato e lo metteremo accanto allo zero, in quell’insieme che all’inizio era vuoto. Ma questo significa che nell’insieme, ormai, ci sono due elementi. La cardinalità è quindi 2. E abbiamo generato così il numero 2. E per il numero 3? Il metodo è lo stesso, e quindi mettiamo 3 accanto ai suoi predecessori nell’insieme originale. Procederemo allo stesso modo per le unità successive, fino all’infinito. A partire da zero, e quindi dal nulla, abbiamo appena ricreato l’insieme di tutti i numeri interi naturali. E ciò che è vero per i numeri interi può esserlo anche per tutte le altre famiglie di numeri: razionali, irrazionali, immaginari puri, tutti, senza eccezione, possono essere generati a partire dallo zero. Fino all’infinito. Lo zero è un numero reale, i numeri immaginari rappresentano, invece, un’estensione dei numeri reali. Alla scala zero dello spazio-tempo non esistono ancora cinque, ma soltanto quattro dimensioni: le quattro dimensioni spaziali che corrispondono ai quattro insiemi dei numeri reali (interi, razionali, irrazionali e reali completi). In realtà, la quinta dimensione (che porta con sé il tempo) appare “dopo”. Ritorniamo alla nostra bolla a quattro dimensioni. Quando il suo raggio è nullo, essa non è altro che il Punto Zero. Dobbiamo comprendere che questa bolla ci fornisce l’immagine geometrica delle quattro famiglie dei numeri reali. La chiameremo perciò bolla dei numeri. La bolla dei numeri ha un raggio nullo ed è ridotta ad un semplice punto. Questa è la situazione all’origine, quando esiste soltanto lo zero. Che cosa accade a partire da lì? Qualcosa che è codificato nello zero stesso: il fenomeno affaascinante che abbiamo visto prima e che genera, in modo naturale, tutti i numeri reali. Ma allora dove si muovono i numeri? Ovviamente, nelle quattro direzioni della bolla e questo genera quattro rette a partire dall’origine segnata come zero. L’espansione dello zero e lo sviluppo delle quattro famiglie di numeri reali nelle quattro dimensioni potrebbero dunque essere paragonati ad un “cambiamento di scala” della bolla originale, che vediamo gonfiarsi a mano a mano che i numeri crescono. Questo mutamento di scala, in effetti, è facile da visualizzare, perché si tratta semplicemente della crescita del raggio della bolla a quattro dimensioni. La funzione delta di Dirac, ha la particolarità di essere nulla dappertutto, tranne che in un punto, dove diviene infinita. La “superficie” coperta dal grafico di questa funzione è un invariante topologico di valore 1. Riprendiamo le condizioni che regnano nei dintorni della Singolarità Iniziale: si tratta di un punto (che quindi occupa uno spazio nullo) caratterizzato da una “traccia”, più precisamente da un invariante topologico di valore 1. È possibile che la Singolarità all’origine possa essere descritta semplicemente da una funzione delta? Questa funzione ha un supporto nullo, ossia è nulla dappertutto tranne che sul punto singolare, dove diviene infinita per un istante nullo. Questo ci porta quindi ad immaginare la Singolarità Iniziale come un “segnale” di ampiezza infinita. Puntiforme per costruzione, essa si propaga all’infinito in un intervallo di tempo reale uguale a zero. In altre parole: il punto originale si propaga all’infinito in tempo immaginario. Il Punto Zero è un “ente matematico”, un’informazione che può essere interamente descritta da ciò che chiamiamo “un’algebra”. Ancora più precisamente, la Singolarità Iniziale è in se stessa un’algebra, un’algebra di von Neumann; e le algebre scoperte da questo grande matematico sono oggetti essenzialmente dinamici. Ed è proprio questa dinamica a rendere l’algebra originale il primo motore del “Big Bang freddo”, quella fase iniziale di espansione dell’universo che avvenne all’Istante Zero, prima del Big Bang. Torniamo allo zero: l’immagine dell’ente numerico più misterioso è un semplice punto. Per definizione, questo punto è in uno stato che definiremo in modo naturale “stato di equilibrio”. In questa ricerca è stato dimostrato che lo stato d’equilibrio di un sistema è esattamente equivalente (da un punto di vista matematico) all’evoluzione di quello stesso sistema in tempo immaginario puro. In altre parole: lo stato di equilibrio del Punto Zero (che qui rappresenta la Singolarità Iniziale) può essere considerato, in modo equivalente, come la sua evoluzione in tempo immaginario (si definisce quest’evoluzione “corrente in tempo immaginario”, oppure “flusso topologico”). Alla scala zero, lo spazio-tempo doveva essere necessariamente “in uno stato topologico con una dinamica euclidea”. “Laggiù”, sullo zero, esiste un’evoluzione governata dalla funzione delta e quell’”evoluzione zero” ha luogo soltanto nel tempo immaginario. Nel tempo reale, l’evoluzione di qualunque sistema è descritta da un’algebra che in meccanica quantistica viene definita algebra delle osservabili. In tale ricerca è stato dimostrato che esiste un’altra algebra possibile, che è stata chiamata “algebra degli stati”: essa corrisponde all’algebra delle osservabili, ma è calcolata in tempo immaginario. L’algebra degli stati descrive l’evoluzione del nostro sistema in tempo immaginario. Ciò significa che il nostro punto (che rappresenta la Singolarità Iniziale) invece di evolvere in tempo reale è sottoposto ad un “cambiamento di scala” da zero all’infinito in tempo immaginario. Giacchè il nostro Punto Zero può essere rappresentato come una bolla di dimensione 4 e raggio nullo, la sua evoluzione in tempo immaginario è data in modo del tutto naturale dall’espansione del raggio da zero all’infinito. Partendo dall’algebra iniziale degli stati del Punto Zero, tale evoluzione è governata, in profondità, da ciò che i matematici chiamano “flusso dei pesi” dell’algebra in questione. Il flusso dei pesi (che anche rappresenta una corrente puramente algebrica) in realtà è equivalente al flusso d’evoluzione del sistema in tempo immaginario. Da un punto di vista fisico-matematico, quest’inevitabile evoluzione in tempo immaginario può essere concepita anche come ciò che gli esperti definiscono “espansione del nucleo del calore”. Alla scala zero, sul punto iniziale, il valore di questo nucleo è massimale: è pari a 1. Questo “nucleo del calore” tende naturalmente a zero. La caduta dei valori del nucleo del calore implica necessariamente la dilatazione dello spazio su cui esso è calcolato; sarà quindi chiaro che “raffreddandosi” verso lo zero, il nucleo del calore provoca la dilatazione (e quindi il cambiamento di scala) della bolla iniziale di raggio nullo (che in precedenza avevamo definito bolla dei numeri). Il punto singolare (che corrisponde al vertice del cono di luce) è un oggetto che i fisici matematici definiscono istantone di dimensione nulla. L’energia dell’istantone è immaginaria. Questa straordinaria “pseudo-particella” è caratterizzata da una specie di carica astratta che gli esperti hanno chiamato “carica topologica” e che è invariante. Si potrebbe paragonare questa carica ad una quantità invariante di informazione, come quella contenuta in un DVD, per riprendere un esempio già precedentemente citato. Al Punto Zero esiste un “potenziale topologico” (descritto dalla funzione delta); quest’ultimo propaga all’infinito la carica topologica dell’istantone iniziale di dimensione nulla. Il Punto Zero può così essere visto come un’infinità di istantoni di dimensioni nulle raccolti su di un unico punto (un po’ come oggi milioni di libri sono compattati nei minuscoli solchi di un DVD). Allo stesso modo, un’infinità di istantoni si trovano sovrapposti al Punto Zero, conferendogli una ricchezza infinita in termini di informazione. Più precisamente, la densità della carica topologica, che aumenta con il numero di istantoni, diviene qui infinita. Ed ecco dove sta il segreto dell’espansione topologica che precedette l’espansione fisica dell’universo: per ritrovare il suo stato fondamentale (corrispondente ad una densità di carica topologica nulla), il raggio dell’istantone deve diventare infinito. Anche qui, ritroviamo nuovamente questa “legge algebrica” che spinge lo zero verso l’infinito. Come concepire la nascita del tempo? A mano a mano che la spirale aurea degli istantoni si svolge, nuovi numeri fanno la loro comparsa, a partire da 0, poi 1, poi 2, ecc..., fino all’infinito: il raggio della bolla cambia, così che essa cresce e dà l’avvio ad una formidabile espansione. E all’infinito, il raggio è infinitamente grande. Come bolle di sapone di tutte le dimensioni, le sfere si propagano verso l’infinito, spinte unicamente dalla dinamica dei numeri reali. Grandi o piccole che siano, le bolle sono lì, tutte allo stesso istante, tutte equivalenti. Quando la bolla cresce ed il suo raggio diventa infinito, significa che il suo bordo si è infinitamente allontanato dal centro (il punto che rappresenta l’origine). Visto dal bordo, il centro è talmente lontano da essere scomparso: togliendo il centro abbiamo soppresso in un colpo solo tutto l’interno della bolla. Questo perché una bolla è ciò che in topologia si definisce “spazio connesso” ed un punto qualsiasi preso dal suo interno non ha quindi alcuna scala: può essere “grande” quanto la bolla stessa. Di conseguenza, una volta tolto il centro della bolla, resta soltanto il bordo, ossia la sfera a tre dimensioni che chiamiamo S3. L’interno della sfera non esiste più: è diventato immaginario. Come per la sfera normale S2 (un pallone da calcio) l’interno era la terza dimensione dello spazio, nel caso di S3 l’interno che abbiamo tolto altro non era che la quarta dimensione. Questo significa allora che la quarta dimensione spaziale della bolla è divenuta immaginaria. Ma che cos’è una dimensione di spazio immaginario? Molto semplicemente, è la dimensione del tempo reale. All’interno della bolla a quattro dimensioni, la quarta dimensione spaziale è stata sostituita dall’unica direzione che possa trovarsi “nella bolla” senza comunque occupare spazio alcuno, la dimensione del tempo reale. Togliendo il nostro punto sul raggio della bolla, quest’ultimo ha ruotato su se stesso di 90° all’interno, diventando una retta immaginaria (ossia il tempo, che come sappiamo è misurato con numeri immaginari). Da qui in poi, gli istantoni (che sono oggetti compatti, ossia chiusi su se stessi) scompaiono. Allo stesso modo, il gruppo di simmetria che li governava (il gruppo SO(4), anch’esso un gruppo compatto) “esplode”, perde la sua simmetria fondamentale e si apre improvvisamente su SO(3,1), cioè il gruppo di simmetria di Lorentz, non compatto, il gruppo dello spazio-tempo, quello che ci permette, in ogni istante, di misurare le trasformazioni nel tempo reale. È dunque dall’”esplosione” della metrica euclidea che nasce la metrica lorentziana: quella in cui abbiamo il ricordo del passato ed il desiderio del futuro. In conclusione, togliere alla bolla dei numeri un punto significa aprirla nella direzione del tempo. Significa, cioè, portarla a non essere più statica (chiusa nella direzione del tempo immaginario), ma renderla dinamica (aperta nella direzione del tempo reale). Quando togliamo un punto alla nostra bolla, essa “cambia di scala”: il tempo reale comincia a fare il proprio lavoro ed i numeri si aggiungono agli altri senza più fermarsi. Il risultato è che la bolla dei numeri cresce e la vediamo crescere, cambiare di scala ad ogni istante: ormai il tempo è nato. Il sorprendente fenomeno che è stato appena descritto mostra dunque come, all’infinito del tempo immaginario, nasca il tempo reale. Ed è quando il tempo “si apre” che comincia quella famosa “oscillazione della metrica” fra tempo reale e tempo immaginario: è l’era del tempo “complesso” in cui lo spazio-tempo evolve su cinque dimensioni, contemporaneamente tempo reale ed immaginario. È qui, all’infinito rispetto a zero, che avviene il fenomeno di “de compattazione” del tempo: la fisica definisce quel momento “istante di Planck” (o tempo di Planck). Solo in quell’istante comincia l’ultima tappa: il tempo immaginario è scomparso, l’energia immaginaria si converte in energia reale ed il “Big Bang caldo” prende l’avvio. Con esso, comincia l’espansione dell’universo, che avviene soltanto nel tempo reale. È questo, quindi, il fantastico potere dello zero, il suo mistero affascinante: dispiegare tutta l’informazione numerica che contiene in potenza. E se supponiamo che il punto della Singolarità Iniziale altro non sia che l’immagine dello zero, allora la rappresentazione “geometrica” di quel che abbiamo appena visto ci ha permesso di assistere all’espansione fredda, silenziosa, della sfera originale da zero all’infinito. Un’espansione che, tenuto conto di quanto appena visto, non è soltanto naturale: è inevitabile, inscritta nell’esistenza stessa dello zero. Questo è il segreto del primo Big Bang, quello che ha permesso la transizione da zero verso l’infinito proiettato sul Muro di Planck. Un Big Bang freddo e buio, grazie al quale c’è stato qualcosa a partire dal nulla; attraverso il quale l’infinito è sbocciato dallo zero. E l’essere dal nulla.