Le dimensioni e l'unità della Fisica

La nostra realtà è definita dalle tre coordinate spaziali e dal concetto di tempo, ovvero le quattro dimensioni che regolano la nostra esistenza. Tuttavia, per capire le più complesse teorie della Fisica, e spostare i limiti dell'esperienza (e della ricerca) verso la reale conoscenza dell'Universo, queste quattro variabili non bastano: ne servono almeno dieci.

Come possono essere convinti i teorici delle stringhe (i fisici teorici che studiano la teoria delle stringhe) che le loro teorie funzionino? La risposta si trova nel lavoro del matematico francese del XVII secolo René Descartes (detto Cartesio), che ha mostrato come gli spazi reali della geometria possano essere convertiti in equazioni algebriche astratte. Data una linea di lunghezza fissata, per esempio, si può ricavare un'equazione che ci dica da quali coordinate x ed y passeranno gli estremi della linea se questa viene fatta ruotare. Abbiamo così un cerchio, descritto in forma matematica. L'idea è potente perchè può essere estesa a quante dimensioni si voglia, semplicemente aggiungendo più coordinate. In tre dimensioni, una sfera è descritta con un'equazione simile a quella del cerchio, aggiungendo un insieme di coordinate z. Quindi, perchè non procedere oltre, e scrivere un'equazione per un'"ipersfera" a quattro, cinque, o sei dimensioni? Nel 1854, il matematico tedesco Bernhard Riemann intraprese l'intrepido passo, generalizzando la geometria tridimensionale ad un numero arbitrario di dimensioni. In fondo, si comprese che non si trattava di un gran problema: "Non è poi così difficile lavorare con questi risultati", sostiene il teorico delle stringhe e medaglia Field Edward Witten dell'Institute for Advanced Study di Princeton. Ma a cosa assomigliano questi oggetti ad elevata dimensionalità? Il fisico Gia Dvali della New York University ritiene che sia importante riuscire a trovare una qualche rappresentazione mentale efficace: "L'essenza di un'equazione è compresa e memorizzata molto più facilmente in termini di immagini ed animazioni". Per Dvali, la gravità di Newton è rappresentata da un oggetto dotato di massa da cui si dipartono in ogni direzione, fino all'infinito, le linee del campo gravitazionale. Questa immagine funziona indipendentemente dal numero di dimensioni a cui si sta pensando: "La rappresentazione non ha niente a che fare con uno spazio multidimensionale reale", ammette Dvali, "ma facilita la generalizzazione della legge a dimensioni superiori". Il fisico Roger Penrose afferma che "Spazio e tempo non sono concetti da prendere in considerazione indipendentemente l'uno dall'altro". Nella teoria della relatività speciale (o ristretta) di Albert Einstein, essi si dissolvono in un'unica entità. Due oggetti che ad una persona appaiono separati solo in spazio, ad un'altra possono apparire separati in spazio e tempo. Allo stesso modo, due eventi che sembrano separati solo in tempo possono, da un'altra prospettiva, avvenire anche in luoghi differenti. Le discrepanze fra le percezioni di due osservatori divengono evidenti quando la loro velocità relativa è prossima alla velocità della luce - il limite di velocità universale. La fisica di Einstein, ormai confermata da numerosissimi esperimenti, rivela una profonda verità: lo spazio ed il tempo sono solo "fili" di un unico tessuto infinito, chiamato spazio-tempo. E la forza di gravità, in questo contesto, non è altro che la misura della "curvatura" dello spazio-tempo stesso.

Considerare il tempo come la quarta dimensione ha quindi dato senso alla relatività speciale di Einstein ed è servito a sviluppare la sua generalizzazione: la teoria della relatività generale. Il matematico tedesco Theodor Kaluza ebbe un'idea ancora più grandiosa: nel 1919, subito dopo la messa a punto della relatività generale, mandò un articolo ad Einstein nel quale argomentava che, aggiungendo una quinta dimensione allo spazio-tempo, sarebbe stato possibile mostrare che la gravità e l'elettromagnetismo erano due manifestazioni di un'unica stessa forza. Qualche anno più tardi, un matematico svedese, Oscar Klein, riprese l'idea di Kaluza e la sviluppò al meglio: rispose all'ovvia obiezione contro l'esistenza di una quinta dimensione sostenendo che questa potrebbe essere minuscola, avvolta su se stessa in corrispondenza di ogni punto dello spazio-tempo quadridimensionale.

Usando la teoria delle stringhe, Lisa Randall della Harvard University e Raman Sundrum della Johns Hopkins University di Baltimora, hanno dimostrato nel 1999 che una quinta dimensione potrebbe spiegare un mistero assillante: perchè la gravità appare così tanto più debole delle altre forze fondamentali della natura (nucleare forte, nucleare debole ed elettromagnetismo). Il loro modello possiede le nostre familiari quattro dimensioni che "galleggiano" in una quinta dimensione infinitamente grande e curvata negativamente. Mentre le forze elettromagnetica e nucleare sarebbero "fisse" all'interno di una cosiddetta "brana" a quattro dimensioni, la gravità percolerebbe nella quinta. Allo stesso tempo, Paul Wesson della University of Waterloo in Ontario, Canada, ha pensato che il mondo reale ha in effetti cinque dimensioni, che possono essere articolate nelle nostre familiari quattro dimensioni più la massa che riempie il nostro mondo. Questa teoria non solo libera la fisica dal problema del perchè le cose hanno massa - che in questo modo diventa un prodotto della geometria - ma anche della singolarità iniziale del Big Bang, che, visto con la prospettiva dell'intero universo a 5 dimensioni, non è niente più che un "inganno visivo". Sempre rimanendo in tema di 5 dimensioni, in uno dei maggiori risultati della teoria delle stringhe, il fisico teorico Juan Maldacena suggerì nel 1997 che alcune teorie delle stringhe in cinque grandi dimensioni che includono la gravità, sono equivalenti alle ordinarie teorie dei campi quantistici in quattro dimensioni senza gravità. Le une sarebbero "proiezioni olografiche" delle altre - il che potenzialmente rende il nostro mondo etereo come un "ologramma" proiettato dal confine dell'universo. Tale corrispondenza è stata recentemente applicata a difficili problemi computazionali in molte aree, inclusa la fisica dei superconduttori ad alte temperature. Nella raffigurazione di Maldacena, la teoria 4D non rappresenta una descrizione "più vera" di quella 5D.

Con dieci dimensioni si ottiene, infine, il "paesaggio" della teoria delle stringhe. Tale teoria è al momento l'unica in gara quando si tratta di provare a combinare la meccanica quantistica e la relatività generale in una "teoria del tutto". La teoria sostiene che tutte le particelle che costituiscono la materia o trasmettono le forze, nascono dalla vibrazione di minuscole stringhe. Queste stringhe sono mono-dimensionali, ma lo spazio in cui vibrano non lo è affatto, anzi ha ben 10 dimensioni: nove spaziali ed una temporale (teoria delle superstringhe). Addirittura una primitiva variante della teoria delle stringhe (la teoria di stringa bosonica), contemplava 26 dimensioni. Esistono cinque categorie generali di teorie delle stringhe a 10 dimensioni che competono nello spiegare l'universo. Queste diverse teorie possono essere unificate in una teoria onnicomprensiva, nota con il nome di teoria-M. La teoria-M ha 11 dimensioni. Si presume che le dimensioni extra della teoria-M debbano in qualche modo essere "compresse" (o meglio "compattificate") ad una dimensione che non possiamo vedere (la compattificazione delle dimensioni aggiuntive comporta la creazione di una varietà - o spazio - detta di Calabi-Yau, che, a differenza di un cerchio derivante dalla compattificazione della quinta dimensione, è un "oggetto" matematico molto più complesso). La cosa che può sorprendere è che esiste un numero praticamente molto grande (10^500) di modi in cui questo può essere fatto (quindi ci sono 10^500 varietà di Calabi-Yau possibili). L'idea più estrema che hanno avuto i fisici è la visione del "multiverso", che quindi "tutti" gli universi possibili esistano realmente e che questo faccia parte di quello che viene definito il "paesaggio" (landscape) della teoria delle stringhe.

Da qualche anno la teoria delle stringhe ha avuto due ulteriori sviluppi: il modello Palumbo-Nardelli e le connessioni tra le soluzioni di vari settori della teoria delle stringhe ed il numero aureo Phi o le sue potenze frazionarie (Phi^n/7).

Con il modello Palumbo-Nardelli (2006a) è stato dimostrato che bosoni (vettori dell’energia) e fermioni (le particelle) sono aspetti duali dell’energia:

– ∫d^26x√g[– R/16πG – 1/8g^μρg^νσTr(GμνGρσ)f(φ) – 1/2g^μν∂μφ∂νφ] =
= ∫1/2(κ10)^2∫d^10x(– G)^1/2e^-2Φ[R+4∂μΦ∂^μΦ – 1/2H3^2 – (κ10)^2/(g10)^2Trν
(F2^2)] (1)

(il primo integrale nel membro di destra va da 0 ad infinito) per cui la massa è un’altra categoria dell’energia. Il segno meno nella formula del modello Palumbo-Nardelli (1) indica che le particelle (fermioni) si muovono in senso inverso alla propagazione dell’energia. Tale formula rappresenta un’interazione e quindi il segno di uguaglianza andrebbe più correttamente sostituito con quello della reversibilità, utilizzato nelle reazioni chimiche. Ciò implicherebbe che i bosoni si trasformano in fermioni e viceversa. Questa rappresentazione teorica trova una verifica sperimentale nella trasformazione in natura di un elettrone, che ha una massa, in un fotone, che invece non la possiede, oppure avrebbe una massa 10^5 volte inferiore a quella dell’elettrone. Un altro esempio è costituito dalla differenza (pari a 4 volte la massa dell’elettrone) fra la massa teorica del deuterio e quella sperimentale; una quantità estremamente esigua, alla base dell’enorme energia liberata durante la fusione fra i nuclei più leggeri e la divisione (o fissione) di quelli più pesanti. D’altra parte, la spontanea comparsa di particelle dall’energia è stata osservata nei vari colliders. La relazione (1) dice che i vettori dell’energia potenziale (Ep), ossia i modi con i quali essa si manifesta, diventano realtà geometricamente e strutturalmente definite (particelle) e ne conservano i caratteri. I bosoni sono il linguaggio (i vettori) a mezzo del quale Ep evolve fino a diventare fermioni, ossia particelle materiali, mentre i fermioni si esprimono con un linguaggio costituito dall’energia cinetica ed in particolare mediante l’interazione gravitazionale, ossia la forza attrattiva fra le masse. Nell’universo, appaiono spesso forme legate al numero aureo φ uguale a 0.61803398… = (√5 – 1) / 2 e quindi all’angolo aureo arccosφ = 51.827292°, così come esistono moltissime forme (sferiche e circolari) legate al numero π uguale a 3.14159265…. Pertanto, π e φ sono i segni fondamentali caratterizzanti molte opere d’arte e tutte le forme naturali. Il legame tra π e φ , ossia tra 3.14… e
0.618… , può ottenersi dalla semplice relazione

arccosφ = arccos 0.618 = 0.2879 π. (2)

I valori di π e di Φ (dove Φ = 1.61803398… è detto rapporto aureo) sono inoltre legati dalla relazione del celebre genio matematico S. Ramanujan:

π = F(n) / [(√5 + 1) / 2]^n = F(n) / Φ^n , (3)

che lega l’ennesimo numero della serie di Fibonacci alla potenza ennesima di Φ, a partire dal numero 5 (5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…). Ad esempio 13, che è il terzo numero della sequenza a partire da 5, diviso Φ^3 si avvicina al valore di π. Il numero 55, che è il sesto numero della sequenza a partire dal numero 5, diviso Φ^6 , si avvicina ancora di più al valore di π. Il rapporto aureo Φ compare implicitamente a π nella (1), la quale lega l’energia alle particelle ed estende quindi la dipendenza da Φ di tutte le forme del micro- e del macrocosmo (Palumbo e Nardelli 2007). Esso, che ha affascinato i pensatori del passato i quali ritenevano Φ alla base di tutte le forme estetiche e cosmiche, trova qui il suo significato fisico, costituendo la radice di tutte le forme naturali. Il motivo per il quale fra i tanti universi immaginari, quello reale è basato su φ = 0.61803398…, risiede nella particolarità, o singolarità del numero aureo φ di essere connesso matematicamente sia all’unità sia a π: due entità fondamentali, la prima costituendo la base della numerazione e la seconda perché tutte le forme naturali sono basate su π, l’imprescindibile base delle forme geometriche. La relazione numerica fra π e φ è fornita dalla (2); quella fra il numero aureo φ, ovvero fra il suo inverso Φ (fattore aureo) e l’unità deriva dalle seguenti relazioni: 1.618 = 1 / 0.618 = 1 / 1 – 1.618 e 1.618^2 = 2.618 = 1.618 + 1 le quali mostrano che, sottraendo il numero 1 da 1.618 si ottiene il suo valore inverso, mentre aggiungendo il numero 1 ad 1.618, si ottiene il suo quadrato. Dal momento che tutti i corpi originari del cosmo, da quelli celesti agli atomi, hanno una struttura legata alle spirali logaritmiche, segue che tutte le forme naturali sono basate su φ. Il presente modello unifica le forze gravitazionali alle altre due forze fondamentali della fisica (forza elettromagnetica e forze nucleari). Ciò è confermato dal legame di Φ e π al fattore della costante di gravitazione universale γ (6.67 x 10^-11) dalla relazione: π^2 – 2Φ = γ che fornisce un grado di approssimazione tanto maggiore quanto più numerose sono le cifre decimali dei due numeri irrazionali utilizzate. Il comune legame della costante newtoniana e di quella della struttura fina (α = 2πe^2/(hc), che come vediamo, è legata a π) a π implica quindi quello fra le due predette costanti α e γ. Inoltre, da 432/π = 137 = 1/α segue che α = π/432 = 1/137 (dove 432 è la frequenza del La naturale) ed analogamente, da γ = π^2 – 2Φ si ottiene γ = 0.0155 x 432. Sia il microcosmo, governato dalle costanti atomiche fondamentali, che il macrocosmo, governato dalla costante di gravitazione universale sono legati quindi alla frequenza del La naturale, che a sua volta è legato alla costante di struttura fina ed a π dalla seguente formula inversa 432 = π/α.

Michele Nardelli